Question

求助一道高中数学题

设函数f(x)=[ln(1+x)]/x,x>0.
(1)判断函数f(x)单调性；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式ln(1+x)<ax在(0，正无穷）上恒成立，若存在，求a出的取值范围，若不存在，是说明理由

Answer 1

（1）因为 f′(X)=[x/(1+x)-In(1+x)]/x²
令 y=x/(1+x)-In(1+x)
y′=-x/(1+x)²
因为 x>0，所以 y′<0，即函数y为递减函数
当x=0时，y=0，所以 y恒小于0
所以 x>0时，f′(X)恒小于0
所以函数f(x)单调性为递减
（2）令y=ax-In(1+x)
y′=a-1/(1+x)，令y′恒大于0
又因为x>0,所以1/(1+x)<1,所以a≥1
当x=0时，y=0，又因为当a≥1时，y′恒大于0，函数y为递增函数且恒大于0
所以使得关于x的不等式ln(1+x)<ax在(0，正无穷）上恒成立，a的取值范围为[1,＋∞)

Answer 2

(1)可以两次求导..第一次整体求导f'(x)=[x/(x+1)-In(x+1)]/x^2
x/(x+1)-In(x+1)<0恒成立，可以再次求导，这里不写了，画个图像看看也可以。
所以减函数
(2)不存在，因为f(x)减函数，a)>ln(1+x)]/x 恒成立，所以a>=f(0)恒成立，而f(0)趋近正无穷，所以不存在。不理解可以再问我。