Question

如图所示，直线L经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°。点P是直线l上的一个动

如图所示，直线L经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°。点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q。问：是否存在点P，使得QP=QO；若存在，满足上述条件的点有几个？并求出相应的∠OCP的大小；有3点告诉我100度的求证

Answer 1

设∠OCP=x,∠QPO=180-x-30=150-x,  ∠QOP=30+∠QOC=30+180-2*∠QCO=30+180-2*(180-x)

  =2x-150 ,由QP=QO得∠QPO=∠QOP，即150-x=2x-150  ===>x=100

Answer 2

解：1）存在；

（2）符合条件的点P共有3个：∠OCP=40°、20°、100°

点P在直线上的一个动点，很容易想到分类讨论

①当点P在线段AO上时，如图1，∠OCP=40°；

②当点P在OB的延长线上时，如图2，∠OCP=20°；

③当点P在OA的延长线上时，如图3，∠OCP=100°。

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（楼下都说只有两种，都错了，忘记考虑还存在第3种情况）

Answer 3

符合条件的点P共有三个.
(1)当点P在BA延长线上P1点时:若OQ=P1Q,则∠QOP1=∠QP1O,设∠COQ=X,则∠QP1O=X+30.
∠OCQ=X+60=∠OQC. 则:2(X+60)+X=180,X=20,则∠OCP1=100°;
(2)当点P在线段AB上P2点时,同理相似可求:∠OCP2=40°;
(3)当点P在AB延长线上P3点时,同理相似可求:∠OCP3=20°.