Question

如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（

如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP=QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．
我们老师说有4种情况，有一种不存在。可是网上只给出一种，怎么回事，随便把4种情况告诉我一下，谢谢了！

Answer 1

1）∠OCP=40° （P在圆内，点O与点A之间）
2）∠OCP=100°（P在圆外，射线OA上）
3）∠OCP=20°（P在圆外，射线OB上）

追问

我需要4种情况的图解和文字解释，谢谢、

追答

我只想到存在的这三种情况。

第一种情况的图，如下

由已知QO=QP，可以得到，∠QOP=∠OPQ

圆的半径OC=OQ，可以得到，∠OCP=∠OQP

而，∠OPQ=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°

根据三角形内角和为180°，可以得到，∠QOP+∠OPQ+∠OQP=180°

也就是 2*∠OPQ+∠OCP = 180°

       即 2*（∠OCP +30°）+∠OCP = 180° 可以求得， ∠OCP=40° 

 

第二种情况的图，如下

求解过程，QO=QP，可以得到，∠QOP=∠OPQ 

进一步得到， ∠QOC+∠AOC=∠OPQ  推出 ∠QOC=∠OPQ-∠AOC=∠OPQ-30°

而，∠OPQ=180°-∠OCP-∠AOC=150°-∠OCP

可得， ∠QOC = 120°-∠OCP

OC=OQ，可以得到，∠OCQ=∠OQP= 180°-∠OCP

而，∠OCQ+∠QOC+∠OQP=180°

也就是 2*∠OCQ+∠QOC = 180°

2*（180°-∠OCP）+120°-∠OCP =180°

可得，∠OCP=100° 

 

第三种情况的图，如下，求解过程类似。

 QO=QP，可以得到，∠QOP=∠OPQ 

 OC=OQ，可以得到，∠OCP=∠OQC

∠OQC = ∠QOP+∠OPQ =2*∠OPQ，也就是，∠OCP =2*∠OPQ

∠AOC = ∠OCP+∠OPQ =2*∠OPQ+∠OPQ = 3*∠OPQ=30°，

可得∠OPQ=10°，∠OCP=20°