Question

在锐角三角形中，角A等于60° 求cosB+cosC取值范围？ cosB+cosC 如何化简为一个三角函数？

Answer 1

∵A=60°
∴C=180°-A - B = 120°-B
∵三角形ABC为锐角三角形
∴0°<B<90°
cosB+cosC = cosB+cos(120°-B)=cosB +cos120°cosB+sin120°sinB
=cosB-cosB/2+sin60°sinB = cos60°cosB+sin60°sinB
=cos(60°-B)
∵0°<C<90°,B+C=120°,
∴30°<B<90°,
-30°<60°-B<30°
∵cosB+cosC = cos(60°-B),-30°<60°-B<30°
∴√3/2<cosB+cosC≤1.

Answer 2

cosB+cosC=2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]（三角函数和差化积公式）
∵ A=60
∴ [(B+C)/2=60
则 cosB+cosC=2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]=cos[(B-C)/2]
在锐角三角形中 0＜cos[(B-C)/2]≤1
又 Bmax=90 故 cos[(B-C)/2]＞cos[(90-30)/2]=cos30=√3/2
∴ √3/2＜cos[(B-C)/2]≤1
即 √3/2＜cosB+cosC≤1