Question

设函数F(x)定义在（-L,L)上，证明F（x）+F（-x）为偶函数，F（x）-F（-x）为奇函数。

Answer 1

（-L,L)区间对称
设t(x)=F（x）+F（-x）
那么t(-x)=F（-x）+F（x）=t(x)
所以偶函数

设g(x)=F（x）-F（-x）
那么g(-x)=F（-x）-F（x）=-（-F（-x）+F（x））=-g(x)
所以奇函数

不熟的话就多写t(x)=F（x）+F（-x）和g(x)=F（x）-F（-x）这一步就可以了

Answer 2

令f(x)=F(x)+F(-x)则有f(x)=f(-x)所以是偶函数,同理,可知另一个了

Answer 3

G(x)=F（x）+F（-x）
G(-x)=F（-x）+F（x）
G(x)=G(-x)

H(x)=F（x）-F（-x）
H(-x)=F（-x）-F（x）
H(x)=-H(-x)

Answer 4

设F(x)=f(x)+g(x)，
如果f(x)与g(x)都是偶函数，则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x)
∴F(x)是偶函数；
如果f(x)与g(x)都是奇函数，则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=[-f(x)]+[-g(x)]=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
∴F(x)是奇函数。