Question

已知函数f（x）=lg【x+根号下（2+x2）】-lg根号下2

已知函数f（x）=lg【x+根号下（2+x2）】-lg根号下2.
（1）判断函数f（x）的奇偶性
（2）判断函数f（x）的单调性

Answer 1

f(x)+f(-x)=lg(x+√(2+x^2))-lg√2+lg(-x+√(2+(-x)^2)-lg√2
=lg((x+√(2+x^2)*(-x+√(2+x^2))-2lg√2
=lg(2+x^2-x^2)-lg(√2)^2
=lg2-lg2
=0
即f(-x)=-f(x)，所以 f(x)是奇函数

x>0时
y=x 增函数
y=√(2+x^2)是增函数
y=lg x是增函数
所以 它的复合函数 lg(x+√(2+x^2))是增函数
又因为f(x)是奇函数，所以 在 x<0时，也是增函数
即 f(x)在 R上是单调增函数