Question

问一道高数应用题

设排水沟的横截面积一定，横断面的上部为半圆形，下部为矩形，圆半径R与矩形高H之比为何值的时候，使得建沟所用材料最省。

Answer 1

假设横截面积为S，高度H=k*R (k>0)
则S = 1/2 * PI * R^2 + 2*R*k*R = (PI/2 + 2k) * R^2
所以2k = S/(R^2) - PI/2 --- (1)
又横截面周长
L = PI * R + 2k * R + 2R
= (S/R^2 + PI/2 + 2) * R
= S * 1/R + (PI/2 + 2) * R
当加号两边相等时有最小值根号下(PI+4)*S
此时S/R = R*(PI/2 + 2)
即S = (PI/2 + 2) * R^2
带入(1)得到k = 1
也就是H=R的时候最节省。

Answer 2

设固定横截面积为S
S=πR^2/2+2RH
H=S/(2R)-πR/4
所用材料设为C
C=πR+2R+2H
=(π/2+2)R+S/R
C'=π/2+2-S/R^2，C''=2S/R^3>0
令C'=0得：R=√[S/(π/2+2)]=√S/k
k=√(π/2+2)
此时所用材料最省
H=√S[k/2-π/(4k)]
R:H=(√S/k)/{√S[k/2-π/(4k)]}
=1:1