Question

1、已知函数f(x)=x|x-2a|. 试求f(x)在区间[0,1]上的最大值g(a) 2、方程9^x+|1-3^x|=5的实数解为？

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Answer 1

题1：
当x<2a时，f(x)=x(2a-x)=a^2-(x-a)^2，当x>2a时，f(x)=x^2-2ax=(x-a)-a^2；
对于第一种情况，当x=a时取得最大值a^2，对第二种情况当x=1时取得最大值1-a-a^2。
由于x∈[0,1]，需要根据a的取值进行进一步讨论。
令a^2=1-a-a^2，即2a^2+a-1=0，可得a=-1或a=.5。
而对于a<0显然最大值应取第二种情况即1-a-a^2。
又当0<a<.5时，a^2<1-a-a^2，即最大值也取1-a-a^2，而当a>0.5时，最大值应取a^2。
综上所述，当a<0.5时，g(a)=1-a-a^2，当a>0.5时，g(a)=a^2。
题2：
设f(x)=9^x+|1-3^x|，显然当x<0时，f(x)<1，而对于x>0，f(x)=9^x+3^x-1=(3^x)^2+3^x-1。
令a=3^x，f(x)=s(a)=a^2+a-1，于是原题的方程等价为方程组：
(1)a^2+a-1=5；(2)a>1；(3)x=log(a)/log(3)=㏒3(a)。
于是由a^2+a-1=5可知有唯一解a=2，即x=log(a)/log(3)=㏒3(2)=log(2)/log(3)≈0.6309。

Answer 2

解析：⒈对函数f（x）进行讨论有，f（x）=x²－2ax,x≥2a；f（x）=－x²＋2ax,x＜2a.从而可作出f（x）的大致图像。（图像在电脑上不好画出，就描述吧）f（x）的图像在（－∞，a）上单调递增，在（a，2a）上单调递减，在（2a，＋∞）单调递增，且在x=a和x=2a两处取得极值。从而可得g(a)=2a－1，a≥1；g(a)=a²，√2－1≤a≤1；g(a)=1－2a，a≤√2－1.
⒉原方程即为（3∧x）²＋│1－3∧x│=5，令y＝3∧x，从而y²＋│1－y│＝5.即y²＋y－6＝0,y≥1；y²－y－4＝0,y＜1.解得y＝2或y＝（1－√17）／2.故原方程的实数解为㏒3（2）或㏒3（（1－√17）／2）.