Question

数列{an}的前n项和是Sn，若数{an}的各项按如下排列：1/2,1/3，2/3，1/4,2/4，3/4,1/5,2/5,3/5,4/5,1/6……

若存在整数K,使Sk<10，Sk+1>=10，则ak=?
求详细过程，千恩万谢！

Answer 1

排列成分层形式：
1/2
1/3，2/3
1/4，2/4，3/4
1/5，2/5，3/5，4/5，
1/6，2/6，3/6，4/6，5/6，
……
则各层的和为1/2，3/3，6/4，10/5，15/6，21/7，…
即1/2，1，3/2，2，5/2，3，…
即第i层的和为(1+2+…+i)/2÷(i+1)=i/2；
可见，前i层的总和为T(i)=(1/4)i(i+1)=i(i+1)/4；
由于6×7/4=10.2＞10，且5×6/4=7.5＜10
故所求的k所在的层为i=6层，即分母为7的层；
此时，前面5层的和为15/2，
所求的项应满足
1/7+2/7+…+a(k)＜5/2，1/7+2/7+…+a(k+1)≥5/2
由于1+2+3+4+5=15，15/7＜5/2；而1+2+3+4+5+6=21，21/7=3＞5/2
故a(k)=5/7，为第6层的第5项，原数列a(n)的第20项。

Answer 2

S1=0.5
S3=1.5
S6=3
S10=5
S15=7.5
S21=10.5
a21=6/7
所以K=20，Ak=5/7