Question

已知函数f(x)=ax+1/a(1-x)(a>0),且f(x)在[0，,1]上的最小值为g(a)，试求g(a)的表达式，并求g(a)的最大值

Answer 1

由于 f(x)=ax+(1/a) (1-x)=[(a^2-1)/a]x+1/a

故，下对x的系数(a^2-1)/a进行讨论：

当系数(a^2-1)/a=0时，即 a=1时：
f(x)=1/a，则f(x)的最小值=f(x)的最大值=g(a)=1/a=1
当系数(a^2-1)/a>0时，即a>1时：
f(x)为单调递增的一次函数，
则f(x)的最小值=f(0)=1/a=g(a)
f(x)的最大值=f(1)=a
由于g(a)=1/a,为单调递减的双曲函数，
当a趋近于0时，g(a)无限趋近于正无穷，故g(a)无最大值
当系数(a^2-1)/a<0时，即0<a<1时：
f(x)为单调递减的一次函数，
则f(x)的最小值=f(1)=a=g(a)
f(x)的最大值=f(0)=1/a
而g(a)=a ，为单调递增的一次函数，
0<a<1，a无最大值 故g(a)无最大值！
综上所述：
当0<a<1时，f(x)的最小值=g(a)=1/a，g(a)无最大值；
当a=1 时，f(x)的最小值=g(a)=1/a=1
当a>1 时，f(x)的最小值=g(a)=a，g(a)无最大值；