Question

已知集合H是满足下列条件的函数f(x)的全体 在定义域内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立 幂函数f(x)=

已知集合H是满足下列条件的函数f(x)的全体 在定义域内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立
幂函数f(x)=x负1次方是否属于集合H 说明理由
如果函数g(x)=lg 2的x次方+1 分之a∈H，求a
证明函数h(x)=2的x次方+x的2次方∈H

Answer 1

请注意明确表述你的问题
在不方便排版的文本框中表达数学算式中的 幂 和分数：
a的b次方为 a^b a的-b次方为 a^（-b ）
“g(x)=lg 2的x次方+1 分之a”是不是g(x)=lg [a/(2^x+1) ]? 【 题外话 lg [a/(2^x+1) ] 也表示为lg a/(2^x+1) ，因为取对数 是令x=对数符号后紧跟的单项式的值，然后计算lg x。另外"(任意算式)"当单项式处理】
a分之b 为 b/a
分母为2a+b分子为c+d表示为（c+d）/（2a+b）
更多算式的表示参考 人教版新课标必修三A版 课本 或者BASIC中运算符意义

看看你的问题中的
幂函数f(x)=x负1次方是否属于集合H 说明理由
如果函数g(x)=lg 2的x次方+1 分之a∈H，求a
证明函数h(x)=2的x次方+x的2次方∈H
是不是这些(我按这些解答)
(1)幂函数f(x)=x^(-1) 是否属于集合H 说明理由
(2)如果函数g(x)=lg [a/(2^x+1) ] ∈H，求a
(3)证明函数h(x)=2^x+x^2∈H

下面的看不习惯就转化成手写形式抄到纸上看
(1)假设f(x)=x^(-1) 属于集合H
f(1)=1^(-1) =1
∵f(x)=x^(-1) 属于集合H
∴存在x0使方程f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立
f(x0+1)-f(x0)=f(1)=1
1/(x0+1) - 1/x0 = 1 整理得 x0^2+x0+1=0 △=1-4<0方程无实数解,
所以假设不成立,即f(x)=x^(-1) 不属于集合H

(2)g(1)=lg [a/3 ]
g(x0)=lg [a/(2^x0+1) ]
g(x0+1)=lg [a/(2^(x0+1)+1) ]
∵g(x)=lg [a/(2^x+1) ] ∈H
∴存在x0 使g(1)=lg (a/3)=g(x0+1)-g(x0)=lg{a/[2^(x0+1)+1]*(2^x0+1)/a}
即a/3=(2^x0+1)/[2^(x0+1)+1] a/3=(2^x0+1)/[2*2^x0+1]
令t=2^x0 则t>0
∴存在实数t使 (t+1)/(2t+1)=a/3
即(2a-3)t=3-a成立

当a=3/2时，等式左边=0，右边=3/2，∴a≠3/2
所以t=(3-a)/(2a-3)>0
由g(x)=lg [a/(2^x+1)] 知 a>0
解 (3-a)/(2a-3)>0且a>0得 a∈ (1.5,3)

(3)h(x)=2^x+x^2 x∈R
h(1)=2^1+1^2=3
h(x0)=2^x0+x0^2
h(x0+1)=2^(x0+1)+(x0+1)^2

h(x0+1)-h(x0)=2^(x0+1)+(x0+1)^2-[2^x0+x0^2]=2^x0+2x0+1
要证明函数h(x)=2^x+x^2∈H
即要证明存在实数x0使 h(x0+1)-h(x0)=h(1)即 即要证明 存在实数x0使 2^x0+2x0-2=0

∵y=2^x (x∈R) 为增函数 y=2-2x (x∈R)为减函数
∴必定存在实数x0使2^x0=2-2x0即2^x0+2x0-2=0
原命题得证

Answer 2

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Answer 3

（1）
不属于。

将f(x0+1)＝f(x0)+f(1)代入
函数f(x)=x的负一次方（后面将用f(x)=1/x代替）

得
1/（x0+1）=1/x0+1
，解方程后得x0无解

故函数f(x)=x的负一次方不属于集合H
(2)
将f(x0+1)＝f(x0)+f(1)代入函数g（x）=lg（a分之x的平方+1）后

整理得2X^2-2aX+a=0
利用判别式b^2-4ac
即可得出答案
（3）将f(x0+1)＝f(x0)+f(1)代入h（x）=2的x次方+x的平方（即h（x）=2^x+x^2）

整理得2^X0+2X0-2=0
其中x0
有解（图像法或零点存在定理可得）