Question

函数f(x)=lg(x²-2ax+a). 若f(x)的定义域为R，求a的取值范围。 若f(x)值域为R，求a取值范围，并求f(x)

Answer 1

(1)，函数f(x)=lg(x²-2ax+a）的定义域为R，则：
x²-2ax+a>0，恒成立，所以
△=(-2a)²-2a<0 ， a(a-1)<0，
所以 0<a<1，
故实数a的取值范围为：0<a<1。
(2)，函数f(x)=lg(x²-2ax+a）的值域为R，则：
x²-2ax+a>0，(2x-1)a<x²。
令y=x²/(2x-1)，则：
y'=2x(x-1)/(2x-1)²
函数y=x²/(2x-1)有两个极值点：x=0，x=1，
当x<0时， y'>0；当0<x<1/2，或1/2<x<1时，y'<0；
当x>1时，y'>0。
所以函数y=x²/(2x-1)在x=0时有极大值：y=0；
在x=1时有极小值：y=1。
故x>1/2时，
a<x²/(2x-1)<1；
x<1/2时，
a>x²/(2x-1)>0。
综上分析，可知：0<a<1。
所以实数a的取值范围为：0<a<1。