Question

已知直线m:y=kx+b与椭圆X的平方/2＋y2=1相交于A,B两点,O为原点.若OA向量丄OB向量,求直线m与以原点为圆心的

Answer 1

已知直线m:y=kx+b与椭圆X的平方除以2＋y^2=1相交于A,B两点,O为原点.若OA向量丄OB向量,求直线m与以原点为圆心的 定圆相切，并求该圆的方程式
解：设A（x1，y1）B（x2，y2）
将y=kx+b代入x²/2+y²=1
x²+2(k²x²+2kbx+b²)=2
(1+2k²)x²+4kbx+2b²-2=0
x1+x2=-4kb/(1+2k²)
x1*x2=(2b²-2)/(1+2k²)
y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k²x1x2+kb(x1+x2)+b²
因为OA向量丄OB向量
所以y1y2/x1x2=-1
x1x2+y1y2=0
x1x2+k²x1x2+kb(x1+x2)+b²=0
(2b²-2)/(1+2k²)+k²(2b²-2)/(1+2k²)-4k²b²/(1+2k²)+b²=0
2b²-2+2k²b²-2k²-4k²b²+b²+2k²b²=0
3b²=2(k²+1)
｜b｜/√(1+k)²=√(2/3)
原点到直线AB的距离=｜b｜/√(1+k)²=√(2/3)
由此原点到直线AB的距离为定值
所以所求圆的方程：x²+y²=2/3