Question

已知函数f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,对任意实数x恒有f(1-x)=f(1+x)成立,方程f(x)有两个相等的实数根。

（1）求f（x）
（2）是否存在实数m，n，使函数f（x）在[m，n]上的值域为[3m，3n]？为什么?

Answer 1

f(x)=ax²+bx+c

∴f(0)=c=0, f(x)=ax²+bx

∵对于任意x有f(1-x)=f(1+x)

∴f(x)对称轴为x=1,即-b/2a=1,

∴b=-2a, f(x)=ax²-2ax

f(x)=ax²-2ax=x, ax²-(2a+1)x=0有两等根

△=(2a+1)²=0, ∴a=-1/2,b=-2a=1

f(x)=-x²/2+x=-(x-1)²/2+1/2,是关于x的二次函数,开口向下,对称轴x=1

①n<=1,此时最大值为f(n),最小值为f(m)

∴f(n)=-n²/2+n=3n,f(m)=-m²/2+m=3m

∴n²+4n=m²+4m=0

又n>m,则n=0,m=-4
②m>=1,此时最大值为f(m),最小值为f(n)

∴f(m)=-m²/2+m=3n,f(n)=-n²/2+n=3m

两式相减得 (m²-n²)/2+(n-m)=3(m-n),即(m+n)(m-n)-2(m-n)=6(m-n)

∴m+n-2=6,m+n=8

代入解得 m²-8m+48=0,无解

③m<1<n时,此时最大值为f(1)=1/2=3n

∴n=1/6(舍)

综上,存在这样的m,n其中m=-4,n=0