Question

点M是在椭圆x^2/a^2=y^2/b^2=1上，以M为圆心的圆与X轴相切于椭圆的右焦点

已知点M在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F。（1）若圆M于y轴相切，求椭圆的离心率（2）若圆M与y轴相交于A，B两点，且三角形ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程

Answer 1

(1)椭圆经过(c,c)点。c^2/a^2+c^2/b^2=1,c^2/a^2+c^2/(a^2-c^2)=1,e^2=(3-√5)/2,e=(√5-1)/2
(2)由三角形ABM是边长为2的正三角形，c=√3,由离心率，a^2=3(3+√5)/2,椭圆方程为x^2/[3(3+√5)/2]+y^2/[3(1+√5)/2]=1.