Question

如图80408，正方形ABCD的边长为2a，H是以BC为直径的半圆上的一点，过H与半圆相切的直线交AB于点E，交CD于

如图80408，正方形ABCD的边长为2a，H是以BC为直径的半圆上的一点，过H与半圆相切的直线交AB于点E，交CD于点F，①当H在半圆上移动时，切线EF在AB、CD上的两个交点分别在AB、CD上移动(E与A不重合，F与D不重合)，试问四边形AEFD的周长是否也在变化？请证明你的结论；②若∠BEF=60°，求四边形BCFE的周长；③设四边形BCFE的面积为S1，正方形ABCD的面积为S。
当H在什么位置时，S1＝1324 S。
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Answer 1

解：（1）由题意知，AB、CD、EF都与半圆相切，
∴EH=EB，FH=CF．
∴四边形AEFD的周长=AE+EH+HF+DF+AD=AE+EB+FC+DF+AD=6a．
∴四边形AEFD的周长是定值，没有变化．
（2）∵EO平分∠BEH，FO平分∠CFH，
∴OF⊥EO．
∵∠EOB、∠OFC同为∠FOC的余角，∴∠EOB=∠OFC．
又∠EBO=∠OCF=90°，
∴△EBO∽△OCF．
∴ ，即EB•CF=OC•OB=a2…①
∵S1+S2= S，
∴ OB•BE+ OC•CF= •4a2．
即BE+CF= a…②
解①②得BE= a，FC= a；或BE= a，FC= a．

Answer 2

解：（1）由题意知，AB、CD、EF都与半圆相切，
∴EH=EB，FH=CF．
∴四边形AEFD的周长=AE+EH+HF+DF+AD=AE+EB+FC+DF+AD=6a．
∴四边形AEFD的周长是定值，没有变化．

（2）∵EO平分∠BEH，FO平分∠CFH，
∴OF⊥EO．
∵∠EOB、∠OFC同为∠FOC的余角，∴∠EOB=∠OFC．
又∠EBO=∠OCF=90°，
∴△EBO∽△OCF．
∴EBOC=
OBCF，即EB•CF=OC•OB=a2…①
∵S1+S2=1348S，
∴12OB•BE+12OC•CF=1348•4a2．
即BE+CF=136a…②
解①②得BE=32a，FC=23a；或BE=23a，FC=32a．

Answer 3

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Answer 4

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