Question

已知函数f（x）=a[2cos^2(x/2)+sinx]+b,当a=1时，求f（x）的单调增区间

Answer 1

两倍角公式：
cos2A=2cos²A-1
辅助角公式：
asinA+bcosA=√(a²+b²)sin(A+B),其中tanB=b/a

f(x)=a[2cos²(x/2)+sinx]+b
=a(1+cosx+sinx)+b
=a(sinx+cosx)+b+a
=(√2)asin(x+π/4)+a+b

当a=1时，
令-π/2+2kπ≤x+π/4≤π/2+2kπ,k∈Z
即-3π/4+2kπ≤x≤π/4+2kπ,k∈Z
所以f(x)的单调增区间为[-3π/4+2kπ,π/4+2kπ](k∈Z)

Answer 2

f(x)=√2sin（x+∏/4）+1+b
-∏/2+2k∏≤x+∏/4≤∏/2+2k∏, k∈z
-3∏/4+2k∏≤x≤∏/4+2k∏ , k∈z
∴f(x)在[-3∏/4+2k∏,∏/4+2k∏] (k∈z) 单调递增

应该没有算错。

Answer 3

a=1那么f（x）=2cos^2(x/2)+sinx+b ……根据倍角公式cosx=2cos^2(x/2)-1
=cosx+1+sinx+b ……根据合一公式
=根号2sin（x+π/4）+1+b
2kπ-π/2≤x+π/4≥2kπ+π/2∴2kπ-3π/4≤x≥2kπ+π/4
即f（x）的单调递增区间为[2kπ-3π/4，2kπ+π/4]