Question

如图,已知四棱锥p-abcd的底面是正方形,pa垂直底面abcd,pa=pd=2,点m、n分别在棱

如图所示，四棱锥P-ABCD的地面是正方形,PA垂直于平面ABCD,PA=AD=2,点M,N分别在棱PD,PC上,且PC垂直于平面AM
（1）求证AM垂直于PD
（2）求二面角P-AM-N的平面角的余弦值
（3）求直线CD与平面AMN所成的角的正弦值

Answer 1

(2)解：因为PC⊥平面AMN，
所以PC⊥AM，AN⊥PC，
依题意可知CD⊥面PAD，AC=2√2，PC=2√3，
所以CD⊥AM，AN=2√6/3，PN=2√3/3，NC=4√3/3，
所以AM⊥面PCD，
所以AM⊥PD，PM=MD=AM=√2
所以二面角P-AM-N为∠PMN=arcsin PN/PM=arcsin[(√6)/3]，
（3）过点M作MO∥DC交PC于O，
则依题意可得MO=CD/2=1，PO=PC/2=√3，NO=PO-PN =√3/3，
因为PC⊥面AMN，
所以直线CD与平面AMN所成角=∠OMN=arcsin ON/OM=arcsin[(√3)/3]