Question

已知f(x)=㏒2（x+1），当点（x，y）在f（x）图象上时，（x/3，y/2）在g（x）上

1）。求g（x）
2）、当g（x）-f（x）≥0，求x的取值范围
3）、当x在上题所给范围内时，求g（x）-f（x）的最大值

Answer 1

详细过程：
1、f(x)上的点(x,y)可表示为（x,log2(x+1)),那么（x/3,y/2)为（x/3,log2(x+1)/2）,记其为点A
令x'=x/3,则点A为（x',log2(3*x'+1)/2）即g(x)=log2√3x+1
2、g(x)-f(x)=log2(√3x+1/x+1)≥0
即(√3x+1/x+1)≥1,而根据f(x)定义域知x+1>0,则（√3x+1）≥x+1，3x+1≥x2+2x+1,即x∈[0,1]。
3、g(x)-f(x)最大值即(√3x+1)/(x+1)的最大值，令y=√3x+1,则(√3x+1)/(x+1)=3y/(y2+2)=3/(y+2/y),而y+2/y≥2*√y*√(2/y)=2√2,此时√y=√(2/y),y=√2则x=1/3,符合题意。即最大值为(log2 3√2)-2=(log2 3) -3/2