如图,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD是∠ABC的角平分线,则BD的长为______。
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解:设BD=a
因为∠A=36,AB=AC
所以∠ABC=∠C=72
因为BD平分∠ABC
所以∠ABD=∠DBC=36
所以∠BDC=72
BD=BC
因为∠A=∠ABD=36
所以AD=BD
因为∠A=∠CBD,∠C=∠C
所以△ABC∽△BDC
AB/BD=BC/CD
AB=1,BD=a,BC=BD=a,CD=AC-AD=AC-BD=1-a
1/a=a/(1-a)
a²=1-a
a²+a-1=0
a=(-1±√5)/2
a=(-1-√5)/2舍去
所以BD=(√5-1)/2
因为∠A=36,AB=AC
所以∠ABC=∠C=72
因为BD平分∠ABC
所以∠ABD=∠DBC=36
所以∠BDC=72
BD=BC
因为∠A=∠ABD=36
所以AD=BD
因为∠A=∠CBD,∠C=∠C
所以△ABC∽△BDC
AB/BD=BC/CD
AB=1,BD=a,BC=BD=a,CD=AC-AD=AC-BD=1-a
1/a=a/(1-a)
a²=1-a
a²+a-1=0
a=(-1±√5)/2
a=(-1-√5)/2舍去
所以BD=(√5-1)/2
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两次运用正弦定理
这一定理对于任意三角形ABC,都有a/sinA=b/sinB=c/sinC,其中三边为a,b,c 三角为A,B,C
第一次在三角形ABC中,由AB/sin∠C=BC/sin∠A,可得BC=sin36°/sin77°;
第一次在三角形BCD中,由BD/sin∠C=BC/sin∠BDC,可得BD=sin36°/sin64.5°
然后查正弦表可得
这一定理对于任意三角形ABC,都有a/sinA=b/sinB=c/sinC,其中三边为a,b,c 三角为A,B,C
第一次在三角形ABC中,由AB/sin∠C=BC/sin∠A,可得BC=sin36°/sin77°;
第一次在三角形BCD中,由BD/sin∠C=BC/sin∠BDC,可得BD=sin36°/sin64.5°
然后查正弦表可得
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易证△CBE∽△CAB(AA)
CE/BE=CB/AB
AB=AC
AE=BE(△ABE)
BC=CE(△CBE)
所以AE^2=AC×EC。
CE/BE=CB/AB
AB=AC
AE=BE(△ABE)
BC=CE(△CBE)
所以AE^2=AC×EC。
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