Question

设函数f（x）=x3（三次方）-3ax+b（a不等于0） （1)若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a

b的值
（2）求函数f（x）的单调区间与极值点

Answer 1

f(x)=x³-3ax+b
f'(x)=3x²-3a
因为曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切
所以①12-3a=0 a=4
②f(x)=x³-12x+b 代入x=2 f(x)=b-16=8 b=24
f'(x)=3x²-12 令f'(x)=0 则x=2或x=-2
f(x)在(-∞，-2）单调递增 (-2,2)单调递减(2,+∞)递增
所以① 当x=-2时 极大值
②x=2时 极小值

Answer 2

先对函数求导：f ’（x）=3X^2-3a
（1)由题知：曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切
也就是说在这个点上切线斜率为零
即f ’（2）=0。。。。12-3a=0。。。。a=4
因此f（x）=x3（三次方）-12x+b（a不等于0）
同样我们可以得出结论：点（2，f（2））的纵坐标为8
所以f（2）=8
即8-24+b=8。。。。b=24
（2）f ’（x）=3X^2-12
令f ’（x）=3X^2-12=0。。。。。X=正负2
分别代入f （x）得40 和8
所以(-∞，-2）及(2,+∞)上单调递增
(-2,2)上单调递减

特别注意：(-2,40)和(2,8)只是转折点，在X为一切实数情况下，此函数没有最大和最小值。

Answer 3

f'(x)=3x^2-3a.f'(2)=0.a=4.f(2)=8.b=24
(2).f'(x)=3x^2-12=3(x+2)(x-2).所以在(-2,2)为减，其他区间薇增