Question

高一数学判别式法求函数值域怎么用

老师给我们的笔记是 x属于R或有一点不可取。什么意思嘛
一楼的话明显是废话= =

Answer 1

由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=f(x)有实数解，因此“求f(x)的值域。”这一问题可转化为“已知关于x的方程 y=f(x)有实数解，求y的取值范围。”因此先将y表示成关于x的二次函数，在求解对应一元二次方程有实数根时的y的取值范围，就是原函数y=f(x)的值域。你所说的“x属于R或有一点不可取”是指要先确定原函数的定义域，再结合x的取值范围求出值域。
(3)原函数定义域为R。y=(2x^2+4x-7)/(x^2+2x+3)=[2(x^2+2x+3)-1]/(x^2+2x+3)=2-1/(x^2+2x+3)=2-1/[(x+1)^2+2].(x+1)^2>=0,(x+1)^2+2>=2,2-1/[(x+1)^2+2]>=2-1/2=3/2
值域为[3/2,+∞)
(4)原函数定义域为R，y=(x+1)/(x^2+x+1),分母乘过去得yx^2+xy+y=x+1,yx^2+(y-1)x+y-1=0,判别式△=(y-1)^2-4*y*(y-)=(y-1)()(4)原函数定义域为R，y=(x+1)/(x^2+x+1),分母乘过去得yx^2+xy+y=x+1,yx^2+(y-1)x+y-1=0,判别式△=(y-1)^2-4*y*(y-)=(y-1)(3y+1)<=0
解得定义域为[-1/3,1]

Answer 2

一、判别式法求值域的理论依据

求函数的值域

象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。

解：由得：

（y-1）x2+(1-y)x+y=0 ①

上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程

为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y的范围就是原函数的值域？

我们可以设计以下问题让学生回答：

当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1）

当x=2时，y=? () 当y=时，x=?（2）

以上y的取值，对应x的值都可以取到，为什么？

（因为将y=0和y=代入方程①，方程的△≥0）

当y=-1时，x=?

当y=2时，x=?

以上两个y的值x都求不到，为什么求不到？

（因为将y的值代入方程①式中△<0,所以无解）

当y在什么范围内，可以求出对应的x值？

函数的值域怎样求？

若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。

二、判别式法求值域的适用范围

前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？

求的值域

从表面上看，此题可以用判别式法求值域。

由原函数得：（y-3）x2+2x+(1-y)=0

=4-4（y-3）(1-y)≥0

即（y-2）2≥0 ∴y∈R

但事实上，当y=3时，可解得x=1, 而x=1时，原函数没意义。问题出在哪里呢？

我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x-1）,因此原函数可以化简为，用反函数法可求得，又x≠1代入可得y≠2，故可求得原函数的值域为。

因此，当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。特别值得注意的是约分后的函数的定义域，如上例中化简后的函数x≠1，故y≠2。

求函数的值域

此函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，且分子分母无公因式，可不可以用判别式法来求值域呢？

由得：3yx2+(2y-1)x+y+5=0

1）当3y=0，即y=0时，可解得x=5，故y可以取到0

2）当3y≠0时，令△=(2y-1)2－4×3y (y+5)≥0

解得：

由1）、2）可得原函数的值域为

上面求得的值域对不对呢？显然y=在所求得的值域范围内，但当y=时，可求得x=2，故了限定了自变量x的取值范围的函数不能用判别式法求值域。

此题可用导数法求得原函数在区间[3，5]内单调递增，故函数的定义域为。

综上所述，函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域：

分子分母的最高次为二次的分式函数；

分子分母无公约数；

未限定自变量的取值范围。

最后需要说明的是用判别式求值域时，第一步将函数变为整式的形式，第二步一定要看变形后的二次项（x2项）系数是否含有y，若含有y，则要分二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论。

利用判别式求值域时应注意的问题
用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：
一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验
错因：把 代入方程（＊）显然无解，因此 不在函数的值域内。事实上， 时，方程（＊）的二次项系数为0，显然不能用“ ”来判定其根的存在情况
二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化
解中函数式化为方程时产生了增根（ 与 虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉 与 时方程中相应的 值。所以正确答案为 ，且 。
三、注意变形后函数值域的变化
四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性
综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。

Answer 3

x属于R意为x可以任意值
有一点不可取意为x可以任意值但有一值不可

Answer 4

在分母上当然有点不可取了。