Question

已知sinθ+cosθ=1/5,θ∈(0,π),求下列各式的值

1）tanθ

(2)sinθ-cosθ

(3)sin^3θ+cos^3θ

Answer 1

（1）因为sinx+cosx=1/5,而(sinx)^2+(cosx)^2=1
即(sinx+cosx)^2-2sinxcosx=1,所以1/25-2sinxcosx=1
所以2sinxcosx=-24/25
又因为(sinx)^2+(cosx)^2=(sinx-cosx)^2+2sinxcosx=1
所以(sinx-cosx)^2-24/25=1,所以(sinx-cosx)^2=49/25
又因为0<x<180,所以sinx>0,而2sinxcosx=-24/25<0,所以cosx<0
所以sinx-cosx>0,
所以（2）sinx-cosx=7/5
和sinx+cosx=1/5相加得:sinx=4/5,所以cosx=-3/5
所以（1）tanx=-4/3
所以sinx=1/5-cosx=4/5
因为sin^3x+cos^3x=(sinx+cosx)(sin^2x-sinx*cosx+cos^2x)
代入数据得到
（3）sin^3x+cos^3x=1/5*(16/25+12/25+9/25)=37/125