Question

已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图像经过点A（-1，b），与y轴相交于点B，且∠ABO的余切值为3．

已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图像经过点A（-1，b），与y轴相交于点B，且∠ABO的余切值为3．
（1）求点B的坐标；
（2）求这个函数的解析式；
（3）如果这个函数图像的顶点为C，求证：∠ACB=∠ABO．
快哦，谢谢^_^

Answer 1

解：（1）∵抛物线过点A(-1，b)
代入得b=1+b+c 解得c=-1
∴抛物线表达式为y=x²-bx-1
因为与y轴交于点B 当x=0时，y=-1 则B(0，-1）
（2）过点A作AM⊥y轴，垂足为点M
在Rt△ABM中，cot角ABO=BM\AM=3
由AM=1得BM=3
∵OB=1
∴OM=2 则A（-1,2）
代入解析式得b=2 这个函数的解析式为y=x²-2x-1
（3）（先用公式法或配方法求出顶点）
公式法：-b\2a=1, 4ac-b²\4a=-2 ∴C（1，-2）
配方法：y=x²-2x-1=（x²-2x+1-1）-1=（x-1）²-1-1=（x-1）²-2 ∴C（1，-2）
设直线AC所在直线的解析式为y=ax+b(a≠0)
∵直线过A、C，代入得2=-a+b① -2=a+b② 解得a=-2,b=0
∴直线AC所在直线的解析式为y=-2x
当x=0时，y=0，即直线与y轴交于O（0,0）
则AO=根号5，AB=根号10，AC=根号20（用两点间距离公式等方法，此处略）
在△ABO与△ACB中，
∠A=∠A AO\AB=AB\AC（=根号2\2）
∴△ABO∽△ACB 所以：∠ACB=∠ABO