已知函数f(x)=x^3-3ax^2+3x+1,求单调区间? 30
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解：对f(x)求导得
f′（x）＝3x²－6ax＋3
Δ＝（-6a）²－4×3×3＝36a²-36
当Δ＜0时，即－1＜a＜1时，f′（x）＞0，此时f(x)在整个R上单调递增
当Δ＝0时，即a＝±1时，f′（x）除了在1或-1为0之外都大于0，此时f(x)在整个R上单调递增
当Δ＞0时，即a>1或a<-1时
令f′（x）＞0，解得x＞a＋√（a²-1）或者x＜a－√（a²-1）
令f′（x）＜0，解得a－√（a²-1）＜x＜a＋√（a²-1）
∴此时f(x)的单调增区间为（－∞，a－√（a²-1））∪（a＋√（a²-1），＋∞）
单调减区间为（a－√（a²-1），a＋√（a²-1））
f′（x）＝3x²－6ax＋3
Δ＝（-6a）²－4×3×3＝36a²-36
当Δ＜0时，即－1＜a＜1时，f′（x）＞0，此时f(x)在整个R上单调递增
当Δ＝0时，即a＝±1时，f′（x）除了在1或-1为0之外都大于0，此时f(x)在整个R上单调递增
当Δ＞0时，即a>1或a<-1时
令f′（x）＞0，解得x＞a＋√（a²-1）或者x＜a－√（a²-1）
令f′（x）＜0，解得a－√（a²-1）＜x＜a＋√（a²-1）
∴此时f(x)的单调增区间为（－∞，a－√（a²-1））∪（a＋√（a²-1），＋∞）
单调减区间为（a－√（a²-1），a＋√（a²-1））
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