Question

在梯形ABCD中，CD平行AB，角A+角B=90度，当M、N分别是CD和AB中点时，求证：MN=1/2（AB-CD）

在梯形ABCD中，CD平行AB，角A+角B=90度，当M、N分别是CD和AB中点时，求证：MN=1/2（AB-CD）

Answer 1

证明：作ME//AD，MF//BC

     因为ME//AD，DC//AB，

   所以ADME是平行四边形，角A=角1

   同理BCMF也是平行四边形，角B=角2

   所以AE=DM，BF=CM

     所以AB-CD=AB-AE-BF=EF

    因为角A+角B=90度

  所以角1+角2=90度

  所以角EMF=90度，三角形EMF是直角三角形

  因为N是AB中点，所以AN=BN

    因为M是DC中点，所以DM=CM

    因为AE=DM，BF=CM

    所以AN-AE=BN-BF

    即EN=FN

   所以NM是直角三角形EMF的斜边上的中线，

  所以MN=1/2（EF）   （直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半）

  所以MN=1/2（AB-CD）

Answer 2

见图，把AD与BC分别向上延长后得到三角形ABE。顶点为E。

角E=90度。（根据角A+角B=90度）

已知直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半。（有这个定理）

在三角形ABE中，EM=1/2AB；

在三角形CDE中，EN=1/2CD。

MN=EM-EN

所以MN=1/2AB-1/2CD

            =1/2（AB-CD）