Question

高中数学数列问题

1.在等比数列{an}中,公比Q不等于1,前n项和为Sn,若S2,S4,S3成等差数列,则a2,a4,a3成等差数列。（1）写出这个命题的逆命题
（2）判断这个逆命题是否为真，并给出证明
2.函数F(x)=X^2+ax+b满足F(-1)=—2,且对于任意X属于R,恒有F(X)>=2X成立，求实数a,b的值

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Answer 1

1) 解：
逆命题是：在公比不为1的等比数列{an}中,前n项的和为Sn,若a2,a4,a3成等差数列，则S2,S4,S3成等差数列。
证明：设公比为q，则a2=a1q，a4=a1q³,a3=a1q²等差数列
于是 2a1q³=a1q+a1q²
整理得：2q²-q-1=0
或 (2q+1)(q-1)=0
∵q≠1，∴q=-1/2
故 a2=(-1/2)a1,a4=(-1/8)a1,a3=(1/4)a1
S2=a1+a2=(1/2)a1;S3=S2+a3=(3/4)a1;S4=S3+a4=(5/8)a1
∵S2+S3=(1/2+3/4)a1=(5/4)a1=2S4
∴S2,S4,S3成等差数列
即逆命题真。

2)解：根据题意 ：F(-1)=-2
所以 1-a+b=-2
a-b=3
又因为对于任意X属于R,恒有F(X)>=2X
x^2+（a-2）x+b>=0
所以△<=0
(a-2)^2-4b<=0
(b+1)^2-4b<=0
(b-1)^2<=0
所以 b=1 a=4

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Answer 2

(1)逆命题：在等比数列{an}中,公比Q不等于1,前n项和为Sn，若a2,a4,a3成等差数列，则S2,S4,S3成等差数列。
（2）