Question

微积分数学题,急求解答!!!

利用极坐标计算二重积分
∫∫㏑(1+x²+y²)dxdy
D
其中D为1≤x²+y²≤9
要详细的解答过程,答好加分,谢谢!
请问sir_chen，“^”是什么意思呢，还是不太明白

Answer 1

设x=rcosθ,y=rsinθ,则x^2+y^2=r^2
由于1≤x^2+y^2≤9,所以1≤r≤3
∫∫ln(1+x^2+y^2)dxdy
=∫[0,2π]dθ∫[1,3]ln(1+r^2)rdr
=2π∫[1,3]ln(r^2+1)d(r^2+1)/2
=π[(r^2+1)ln(r^2+1)|[1,3]-∫[1,3](r^2+1)d(ln(r^2+1))]
=π[10ln10-2ln2-∫[1,3]d(r^2+1)]
=π[10ln10-2ln2-(r^2+1)|[1,3]]
=π(10ln10-2ln2-8)

说明:∫[a,b]f(x)dx表示积分区间为[a,b]被积函数为f(x)的定积分.
^表示指数,如a^x表示a的x次方,由于小写的指数我打不出来,所以采用了编程里面的通用写法,我想这个你应该能猜出来.
F(x)|[a,b]表示F(b)-F(a)

Answer 2

∫∫㏑(1+x²+y²)dxdy=4∫∫㏑(1+x²+y²)dxdy
D D1
D1为{x，y： 1≤x²+y²≤9，0≤x,0≤y}

∫∫㏑(1+x²+y²)dxdy=∫∫㏑(1+x²+y²)dxdy+∫∫㏑(1+x²+y²)dxdy
D1 D2 D3

D1为{x，y： 1≤x²+y²≤9，0≤x≤3,0≤y≤1}
D2为{x，y： 1≤x²+y²≤9，0≤x≤2√2,1≤y≤3}