Question

函数f(x)=ax^2+bx（1）若f(-1)=0,且对任意实数x均有f（x）≥0，求f(x)的表达式

(2)在（1）的条件下，对x∈【-1，1】，g(x)=f(x)-k(x)是单调函数，求k的范围

Answer 1

f(-1)=a-b+1=0
b=a+1
对任意实数x均有f(x)>=0
则开口向上，且判别式小于等于0
所以a>0,b^2-4a<=0
(a+1)^2-4a<=0
a^2+2a+1-4a<0
a^2-2a+1<=0
(a-1)^2<=0
因为(a-1)^2>=0
所以只有(a-1)^2=0
a=1,b=a+1=2
f(x)=x^2+2x+1

g(x)=x^2+2x+1-kx=x^2+(2-k)x+1
对称轴x=-(2-k)/2
x属于[-2,2]时,g(x)是单调函数
则对称轴不再这个范围
所以-(2-k)/2>=2或-(2-k)/2<=-2
-(2-k)/2>=2
k-2>=4
k>=6
-(2-k)/2<=-2
k-2<=-4
k<=-2
所以k>=6,k<=-2

Answer 2

f(-1)=0,即a-b=0，故a=b，所以f(x)=ax²+ax=a（x+1/2)²-a²/4，