Question

求所有正整数x,y,使得x^2+3y与y^2+3x都是完全平方数。

Answer 1

令
x²+3y=m² （1）
y²+3x=n² （2）
由于其对称性，可暂设x≥y，不失一般性。
由(1)式可知m>x
又因为m²=x²+3y<x²+4x+4=(x+2)²
所以，只有m=x+1，代入（1）得
3y=2x+1
x=(3y-1)/2 （3）
将其代入(2)式得
y²+9y/2-3/2=n² （4）
同理可以得
y<n<y+3
故只有n=y+1或n=y+2
分别代入（4）式得，
y=1或，y=11
由(3)式可得，x=1或x=16
又因为x,y可互换
故方程有三组解，即（1，1）;（16，11）；（11，16）

Answer 2

（x,y）这样的数总共有三组分别为（1，1），（11，16），（16，11）