Question

如图所示，直角梯形ABCD中，AB平行DC,∠B=90°。E是BC上的一点，连接AE、DE，且△ABE全等 △ECD

（1）求证： 三角形AED是等腰三角形
（2） 若△AED的面积是25/2，直角梯形的面积是49/2求△ABE的周长

Answer 1

如图所示：

（1）

   因为 <B=90°，AB平行DC，故<C=90°，

  又，△ABE全等 △ECD，则对于直角三角形△ABE与△ECD，其斜边AE=DE，

   由于AE=DE，故三角形AED为等腰三角形。

（2）

 由于△ABE全等 △ECD，<B=90°，<C=90°，AE=DE，则AB=EC,DC=BE。

则直角梯形ABCD的面积为：（AB+DC)×BC/2

  将AB=EC，DC=BE 代入上式，得： （EC+BE）× BC/2

 根据图上显示，EC+BE=BC，代入上式得： BC×BC/2

即，等腰梯形的面积为：BC×BC/2=49/2，

可以得出：BCEC+BE=AB+BE=7；------------------（3）

  由于△ABE全等 △ECD，<B=90°，<C=90°，AE=DE，AB=EC，DC=BE。

  故，<EAB=<DEC  

  由于<B=90°，故<EAB+<AEB=90°。

  则 <DEC+<AEB=90°  ，推出 <AED=90°

  则△AED的面积为：AE×DE/2，由于AE=DE，则△AED的面积为：AE×AE/2=25/2

解方程可知，AE=5  -------------------------（4）

 △ABE的周长为：AB+BE+AE，

将式（3)、（4）代入，则：△ABE的周长为：AB+BE+AE=BC+AE=7+5=12。