Question

过x轴正半轴上一点P(m,0)作直线l交椭圆x²/9+y²/4=1于A、B两点,AP=2PB，求M的范围

过x轴正半轴上一点P(m,0)作直线l交椭圆x²/9+y²/4=1于A、B两点,AP=2PB，求M的范围
答案是【1,3】
求过程

Answer 1

设：A（X1，Y1）
B（X2，Y2）
则A，B，P所在的直线方程式是Y－Y1＝（Y1－Y2）/（X1－X2）×（X－X1）
当Y=0时
Y1＝（Y2－Y1）/（X1－X2）×（X－X1）
X＝（X1－X2）×Y1/（Y2－Y1）＋X1
因为AP＝2AB
所以Y1的绝对值＝3倍Y2的绝对值
将其带入关于X的方程
当Y1×Y2>0时
X＝5/2X1-3/2X2
X趣值为最大12（－12）
当Y1×Y2<0时
不存在
所以为[-12,-3]和[3,12]

Answer 2

设A（x1,y1）B（x2,y2）
当m>3,则AB=BP
x2=(x1+m)/2
y2=y1/2 y2^2=y1^2/4
又
x1²/9+y1²/4=1 x1²/36+y1²/16=1/4（1）
x2²/9+y2²/4=1
(x1+m)²/36+y1²/16=1 （2）
（1）（2）消去y得
2mx1+m2=27
x1=(27-m2)/2m
因-3≤x1<3
-3≤(27-m2)/2m<3
得3<m≤9
当0<m<3,AP=2PB
（x1+2x2)=3m/2
y1+2y2=0,y1^2=4y2^2
x1²/9+y1²/4=1 4x1²/9+y1²=4 （3）
x2²/9+y2²/4=1 16x2²/9+4y2²=16 (4)
(3)(4)消去y
8mx2-3m^2=36
x2=(36+3m^2)/8m
因-3≤x2≤3
所以-3≤(36+3m^2)/8m≤3
2≤m<3
综上所述，2≤m<3或3<m≤9