Question

求椭圆(x＾2)/9+(y＾2)/4=1上一点p与定点(1,0)之间距离的最小值

求椭圆(x＾2)/9+(y＾2)/4=1上一点p与定点(1,0)之间距离的最小值

Answer 1

设P(p,q)，代入椭圆方程x²/9+y²/4=1,得q²=4(1-p²/9)……（1）
P到定点M(1,0)之间的距离设为d，d²=(p-1)²+q²,将（1）代入并整理，
得d²=(5/9)p²-2p+5)……（2）,
对p求导，并令导数为零，得p=9/5，
又知d²的最大值在左顶点(0,3)处取得,所以p=9/5为极小值点，
代回（2）得d²的极小值为d²=16/5，d的极小值为4/√5

Answer 2

令x=3cosx,y=2sinx
则求(3cosx,2sinx)与(1,0)的最短距离，
由两点距离公式得，
d^2=(3cosx-1)^2+(2sinx)^2
=4+1+5(cosx)^2-6cosx
=5+5(cosx-3/5)^2-9/5
=16/5+5(cosx-3/5)^2
当5(cosx-3/5)^2=0时，取最小。
即d^2=16/5
所以d=4√5/5