Question

设点P在椭圆x²/4+y²=1上,求点P到直线x-2y+3根号2=0的距离最大值和最小值

Answer 1

当平行于已知直线的直线与椭圆相切时，切点到已知直线的距离为最大或最小；
直线x-2y+3根号2=0的斜率：k=1/2；
求椭圆上有此斜率的点坐标：x/2+2yy'=0，y'=1/2代入，x=-2y；将此关系代入椭圆方程:
(-2y)²/4+y²=1，解得：y=±√2/2；近远点坐标：(-√2,√2/2)、(√2,-√2/2)；
由平面上点到直线的距离公式得：d1=|-√2-2*√2/2+3√2|/√(1²+2²)=√(2/5)；（最小）
d2=|√2+2*√2/2+3√2|/√5=√10；（最大）

Answer 2

设直线x-2y+m=0与椭圆相切；则切点P到直线x-2y+3根号2=0的距离最大值与最小值
x=2y-m带入椭圆方程消去y得：8y²-4my+m²-4=0
相切则∨=(-4m)²-4×8(m²-4)=0; m=±2√2
m=2√2时，P点到直线x-2y+3根号2=0的距离最小，最小值=|3√2-2√2|/√5=√10/5;
m=-2√2时，P点到直线x-2y+3根号2=0的距离最大，最大值=|3√2+2√2|/√5=√10