Question

已知F为抛物线y²=2px(p>0)的焦点,过F点的直线交抛物线于M、N两点，则2/|FM|+2/|FN|= 要有过程

Answer 1

设|FM|=p,|FN|=q.

1/m+1/n=2/p（可用特殊直线x=p/2 计算,此时m=p,n=p）。

一般的，不妨设m>n，抛物线准线方程L：x=-p/2，做ME⊥L于E，NH⊥L于H，L交轴于F'，直线MN交L于G，FF'=p,则
ME=MF=m
NH=NF=n
GM/ME=GN/NH，即
GM/m=(GM+m+n)/n
GM=m(m+n)/(n-m)
GM/ME=GF/FF',即
[m(m+n)/(n-m)]/m=(m(m+n)/(n-m)]+m)/ p
(m+n)/(n-m)=1/p(m^2+mn+mn-m^2)/(n-m)
(m+n)/mn=2/p
1/m+1/n=2/p

则2/|FM|+2/|FN|=4/p.