Question

二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1 ，当在区间【-1，2】上求y=f(x)的值域

Answer 1

f(x) = ax^2 + bx + c
f(0)=1: c = 1
f(x) = ax^2 + bx + 1
f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + 1 = ax^2 + 2ax + a + bx + b + 1
f(x+1)-f(x) = 2ax + a + b = 2x
a = 1
a+b = 0, b = -1
f(x) = x^2 - x + 1 = (x - 1/2)^2 + 3/4
f(x)对称轴为x = 1/2, 顶点(1/2, 3/4)
x^2系数>0, f(x)开口向上, 最小值3/4
区间【-1，2】以x = 1/2为对称轴, 最大值=f(-1) = f(2) = 3
在区间【-1，2】上的值域: [3/4, 3]

Answer 2

f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1 x=-1 f(0)-f(-1)=-2 f(-1)=2
x=0 f(1)-f(0)=0, f(1)=0
x=1 f(2)-f(1)=2 f(2)=2
函数f(x)为二次，所以 当在区间【-1，2】上y=f(x)的值域 【0，2】