Question

已知函数f(x)=ax^3+(a-1)x^2+48(a-2)x+b的图象关于原点成中心对称,试判断f(x)在区间[-4,4]上的单调性,并证

急求!!!要详细过程!!!

Answer 1

解：函数是关于原点中心对称，所以是奇函数。故有f(x)=-f(-x)代入解得
（a-1)^2+b=0,所以a=1,b=0.
则f(x)=x^3-48x
求导可得f'(x)=3x^2-48在区间（-4，4）时，
f'(x)<0恒成立。
故原函数在区间内单调递减。。
不知道你们学导数了没有。我只会这一种方法，希望对你有帮助。。。

Answer 2

函数的图象关于原点成中心对称
所以f(-x)=-f(x），f(0)=0的b=0且原式为2(a-1)x^2=0,得a=1
所以原式为f(x)=x^3-48x对其求导后f'(x)=3x^2-48可得f(x)在[-4,4]为减函数。

Answer 3

因为f(x)是奇函数，所以
f(0)=0
b=0
f(x)=ax³+(a-1)x²+48(a-2)x
f(-x)= - ax³+(a-1)x² -48(a-2)
f(x)+f(-x)=0
(a-1)x²=0
a=1
f(x)=x³-48x
对任意的
-4≤x1<x2≤4
y1-y2=(x1³-x2³)-48(x1-x2)
=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²-48)
因为 -4≤x1<x2≤4
所以
（x1-x2)<0
x1²≤16
x1x2＜16
x2²≤16
(x1²+x1x2+x2²-48)<0
y1-y2>0
y1>y2
所以函数f(x)在[-4,4]上单调减