Question

求证，闭区间上的连续函数若每个点都是极值点，则它是常值函数。

本题不一定可导，to 飞翔同学

Riemann函数是减弱到几乎处处连续条件下的反例。不过好像没什么意义。

Answer 1

证明：若设闭区间[a,b]上函数f(x)处处都是极值点
由费马定理可知，f'(x)=0 ，x∈(a,b)，此时f(x)=C(C是常数)
由于f(x)在闭区间上连续，所以端点处f(a)=f(b)=C
所以f(x)=C，x∈[a,b]
即它是常值函数

Answer 2

这题有点意思。
用反证法
若不然，则存在不相等的实数a和b,满足f(a)不等于f(b),不妨记a<b,f(a)<f(b)
由连续函数的介质定理 知存在c1，满足a<c1<b，f(c1)=(1/2)*(f(a)+f(b))
在[a,c]和[c,b]中必有一个区间长度小于等于(1/2)*(b-a),取之，并记为[a1,b1]
同样的方法，在[a1,b1]中必有c2，满足a<c2<b，f(c2)=(1/2)*(f(a1)+f(b1))
这样我们得到一个无穷的闭区间套[a1,b1],[a2,b2]····[an,bn]
满足bn-an<=(1/2^n)*(b-a)
由闭区间套定理 知 必有一点c，满足an<=c<=bn,n=1,2,3····
若点x=c为函数f(x)的极值点，则存在点c的某个邻域，其中f(c)不大于或者不小于函数在此邻域上的所有取值。而必存在数k，满足ak,bk也属于此领域，而由闭区间套的取法，知必有
f(bk)<f(c)<f(ak)和f(bk)>f(c)>f(ak)之一成立，矛盾。
故f(x)必为常值函数。