Question

求每个点都是极值点的连续函数必是常值函数的证明

Answer 1

用反证法
若不然，则存在不相等的实数a和b,满足f(a)不等于f(b),不妨记a<b,f(a)<f(b)
记c=(a+b)/2
则[a,c],[c,b]中至少有一个，使得f(x)在其上不为常数
在此区间上也有着不相等的实数d1和d2，满足f(d1)不等于f(d2),不妨记d1<d2,f(d1)<f(d2)
由连续函数的介质定理
知
存在c2,c3满足
f(c2)=(1/3)*(2f(d1)+f(d2))
f(c3)=(1/3)*(f(d1)+2f(d2))
d1<c2<d2
d1<c3<d2
不妨设c2<c3
存在c1，满足c2<c1<c3，f(c1)=(1/2)*(f(c2)+f(c3))
记U1={x|c1<x<c3,f(x)在区间[c1,x]上恒满足f(c2)<f(x)<f(c3)，}
U2={x|c1>x>c2,f(x)在区间[x,c1]上恒满足f(c2)<f(x)<f(c3)}
由f(x)的连续性
知U1,U2不为空集，且U1有上界，故有上确界u1，U2有下界，故有下确界u2。且有f(u1)=f(c2)或者f(c3),f(u2)=f(c2)或者f(c3)
(此处由连续性可证)
1若f(u1)不等于f(u2)
取[a1,b1]=[u1,u2]
2.若f(u1)等于f(u2)
不妨设f(u1)=f(c2)=f(u2)
设函数f(x)在区间[u1,u2]上的点x=u3处取到最大值f(u3)
记U4={x|u1<x<u2,f(x)在区间[u1,x]上恒满足f(x)<f(u3)}
则U4有上确界u4
满足f(u4)=f(u3)
此时取[a1,b1]=[u1,u4]
总之
有b1-a1<=(1/2)*(b-a)
且f(x)在[a1,b1]端点处取到最大值
且
对于任何x属于(a1,b1)有
[f(x)-f(a1)]*[f(x)-f(b1)]<0
同样的方法，对[a1,b1]区间进行相同的操作
可得
[a2,b2]
满足
有b2-a2<=(1/4)*(b-a)
且f(x)在[a2,b2]端点处取到最大值
a2>a1
b2<b1
且
对于任何x属于(a2,b2)有
[f(x)-f(a2)]*[f(x)-f(b2)]<0
重复这样的步骤
我们得到一个无穷的闭区间套[a1,b1],[a2,b2]····[an,bn]····
满足bn-an<=(1/2^n)*(b-a)
a1<a2<···<ak<····
b1>b2>···>bk>····
由闭区间套定理
知
必有一点c，满足an<c<bn,n=1,2,3····
若点x=c为函数f(x)的极值点，则存在点c的某个邻域，其中f(c)不大于或者不小于函数在此邻域上的所有取值。而必存在数k，满足ak,bk也属于此领域，而由闭区间套的取法，知必有[f(x)-f(ak)]*[f(x)-f(bk)]<0
即
f(bk)<f(c)<f(ak)和f(bk)>f(c)>f(ak)之一成立，矛盾。
故f(x)必为常值函数。
真够费劲的。
再给另一种方法证明：
若不然，则存在不相等的实数a和b,满足f(a)不等于f(b),不妨记a<b,f(a)<f(b)
记c=(a+b)/2
则[a,c],[c,b]中至少有一个，使得f(x)在其上不为常数
在此区间上也有着不相等的实数d1和d2，满足f(d1)不等于f(d2),不妨记d1<d2,f(d1)<f(d2)
易知有
d2-d1<=(1/2)*(b-a)
由连续函数的介质定理知
存在a1
,满足d1<a1<d2,f(d1)<f(a1)<f(d2)
存在b1
满足a1<b1<d2,
f(a1)<f(b1)<f(d2)
即
存在a1,b1
满足
d1<a1<b1<d2
,f(d1)<f(a1)<f(b1)<f(d2)
且b1-a1<d2-d1<=(1/2)*(b-a)
继续将[a1,b1]分半，将[a1,b1]看成[a,b],重复上面的步骤，可得[a2,b2]
满足a1<a2<b2<b1
，f(a1)<f(a2)<f(b2)<f(b1)
重复上面的步骤
我们可以得到两个数列
a1,a2,···an,····
对应的函数值的序列为f(a1)<f(a2)<···<f(an)<····
b1,b2,····bn,····对应的函数值的序列为f(b1)>f(b2)>···>f(bn)>···
其中{an}为严格单调递增数列，且有上界b1，故有上确界c1
{bn}为严格单调递减数列，且有下界a1，故有下确界c2
且有bn-an<(1/2^n)*(b-a)
则有|c1-c2|<=bn-an<(1/2^n)*(b-a)
令n趋于无穷大
得到c1=c2，此值记为c，易知a<c<b
由函数f(x)的连续性可知
f(c)=f(lim
an)=limf(an)=f(lim
bn)=limf(bn)
(对n趋近于正无穷取极限)
即严格单调递增数列{f(ak)}与严格单调递减数列{f(bk)}以f(c)为极限
k=1,2···
故有f(ak)<f(c)<f(bk)
k=1,2····
任取c的一个邻域
则必存在正整数N，满足aN,bN属于这个邻域，故有f(aN)<f(c)<f(bN)
此与c为f(x)的一个极值点矛盾。
故f(x)必为常数
第二个证明要自然和简单点。

Answer 2

反证法
假如不是常数函数，则必然存在不相等的x1，x2，使得f(x1)不等于f(x2)
根据拉格朗日中值定理，(x1，x2)内必存在一个t，使得f(x2)-f(x1)=f'(t)(x2-x1)
左边f(x2)-f(x1)不等于0
右边x2-x1不等于0
则f‘(t)必然不等于0
而题设中每个点都是极值点，意味着导数处处为0，与f'(t)不等于0矛盾

Answer 3

连续但没说可导，所以不能用中值定理的。

Answer 4

用反证法
若不然，则存在不相等的实数a和b,满足f(a)不等于f(b),不妨记a<b,f(a)<f(b)
记c=(a+b)/2 则[a,c],[c,b]中至少有一个，使得f(x)在其上不为常数 在此区间上也有着不相等的实数d1和d2，满足f(d1)不等于f(d2),不妨记d1<d2,f(d1)<f(d2)
由连续函数的介质定理
知 存在c2,c3满足 f(c2)=(1/3)*(2f(d1)+f(d2)) f(c3)=(1/3)*(f(d1)+2f(d2))
d1<c2<d2 d1<c3<d2 不妨设c2<c3
存在c1，满足c2<c1<c3，f(c1)=(1/2)*(f(c2)+f(c3))
记U1={x|c1<x<c3,f(x)在区间[c1,x]上恒满足f(c2)<f(x)<f(c3)，}
U2={x|c1>x>c2,f(x)在区间[x,c1]上恒满足f(c2)<f(x)<f(c3)}
由f(x)的连续性 知U1,U2不为空集，且U1有上界，故有上确界u1，U2有下界，故有下确界u2。且有f(u1)=f(c2)或者f(c3),f(u2)=f(c2)或者f(c3) (此处由连续性可证)
1若f(u1)不等于f(u2)
取[a1,b1]=[u1,u2]
2.若f(u1)等于f(u2)
不妨设f(u1)=f(c2)=f(u2)
设函数f(x)在区间[u1,u2]上的点x=u3处取到最大值f(u3)
记U4={x|u1<x<u2,f(x)在区间[u1,x]上恒满足f(x)<f(u3)}
则U4有上确界u4 满足f(u4)=f(u3)
此时取[a1,b1]=[u1,u4]
总之 有b1-a1<=(1/2)*(b-a) 且f(x)在[a1,b1]端点处取到最大值
且 对于任何x属于(a1,b1)有 [f(x)-f(a1)]*[f(x)-f(b1)]<0
同样的方法，对[a1,b1]区间进行相同的操作 可得 [a2,b2]
满足 有b2-a2<=(1/4)*(b-a) 且f(x)在[a2,b2]端点处取到最大值 a2>a1 b2<b1
且 对于任何x属于(a2,b2)有 [f(x)-f(a2)]*[f(x)-f(b2)]<0
重复这样的步骤
我们得到一个无穷的闭区间套[a1,b1],[a2,b2]····[an,bn]····
满足bn-an<=(1/2^n)*(b-a) a1<a2<···<ak<····
b1>b2>···>bk>····
由闭区间套定理 知 必有一点c，满足an<c<bn,n=1,2,3····
若点x=c为函数f(x)的极值点，则存在点c的某个邻域，其中f(c)不大于或者不小于函数在此邻域上的所有取值。而必存在数k，满足ak,bk也属于此领域，而由闭区间套的取法，知必有[f(x)-f(ak)]*[f(x)-f(bk)]<0 即
f(bk)<f(c)<f(ak)和f(bk)>f(c)>f(ak)之一成立，矛盾。
故f(x)必为常值函数。

真够费劲的。 再给另一种方法证明：
若不然，则存在不相等的实数a和b,满足f(a)不等于f(b),不妨记a<b,f(a)<f(b)
记c=(a+b)/2 则[a,c],[c,b]中至少有一个，使得f(x)在其上不为常数 在此区间上也有着不相等的实数d1和d2，满足f(d1)不等于f(d2),不妨记d1<d2,f(d1)<f(d2)
易知有 d2-d1<=(1/2)*(b-a)
由连续函数的介质定理知
存在a1 ,满足d1<a1<d2,f(d1)<f(a1)<f(d2)
存在b1 满足a1<b1<d2, f(a1)<f(b1)<f(d2)
即 存在a1,b1 满足 d1<a1<b1<d2 ,f(d1)<f(a1)<f(b1)<f(d2)
且b1-a1<d2-d1<=(1/2)*(b-a)
继续将[a1,b1]分半，将[a1,b1]看成[a,b],重复上面的步骤，可得[a2,b2]
满足a1<a2<b2<b1 ，f(a1)<f(a2)<f(b2)<f(b1)
重复上面的步骤 我们可以得到两个数列
a1,a2,···an,···· 对应的函数值的序列为f(a1)<f(a2)<···<f(an)<····
b1,b2,····bn,····对应的函数值的序列为f(b1)>f(b2)>···>f(bn)>···
其中{an}为严格单调递增数列，且有上界b1，故有上确界c1
{bn}为严格单调递减数列，且有下界a1，故有下确界c2
且有bn-an<(1/2^n)*(b-a)
则有|c1-c2|<=bn-an<(1/2^n)*(b-a)
令n趋于无穷大 得到c1=c2，此值记为c，易知a<c<b
由函数f(x)的连续性可知 f(c)=f(lim an)=limf(an)=f(lim bn)=limf(bn) (对n趋近于正无穷取极限)
即严格单调递增数列{f(ak)}与严格单调递减数列{f(bk)}以f(c)为极限 k=1,2···
故有f(ak)<f(c)<f(bk) k=1,2····
任取c的一个邻域 则必存在正整数N，满足aN,bN属于这个邻域，故有f(aN)<f(c)<f(bN)
此与c为f(x)的一个极值点矛盾。
故f(x)必为常数

第二个证明要自然和简单点。