Question

求解关于直角三角形的初中数学题（过程）

直角三角形的两条直角边的长均为整数，它的周长是x cm，则面积也是x cm²，这样的直角三角形有多少个？
（答案是2个。若b=5,a=12；若b=8,a=6。求过程或解题思路）
谢谢

Answer 1

解：设直角边为a,b,斜边为c则
a＋b＋c＝x①
a²＋b²=c²②
ab＝2x③
由①得，c＝x－a－b④
把④代入②，整理得：x²－2ax－2bx＋2ab＝0
又有③，得：x＝2a＋2b－4⑤
把⑤代入③，整理得：4a＋4b－ab＝8
∴a＝4＋8／（b－4）
8的因数有1、2、4、8
∴b－4=1或2或4或8
∴b＝5、6、8、12
a＝12、8、6、5
∴这样的三角形有两个，直角边为6、8或12、5

Answer 2

（1）由勾股定理可知 c=根号下5的平方+12的平方=13
它的周长=5+12+13=30
它的面积=1/2×5×12=30
（2）由勾股定理可知 c=根号下6的平方+8的平方=10
周长=6+8+10=24
面积=1/2×6×8=24

Answer 3

设两条直角边长分别为a,b
a+b+根号a^2+b^2=x
1/2ab=x
∴a+b+根号a^2+b^2=1/2ab
根号a^2+b^2=1/2ab-a-b
等号两边平方一下
a^2+b^2=（1/2ab-a-b）^2
化简后得：ab(1/4ab-a-b+2)=0
ab=0或1/4ab-a-b+2=0
因为a,b为直角边边长，∴ab≠0
∴1/4ab-a-b+2=0
ab-a-b+8=0
a(b-4)=4b-8
a=(4b-8)/(b-4)=(4b-16+8)/(b-4)=4+8/(b-4)
因为三角形的三边都是整数，8的因数有1，2，4，8
∴b-4=1，2，4，8
再分别求斜边，讨论得满足题意的共2个。