Question

如图所示，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC，BD相交于O，∠ACD=60度，点S,P,Q分别为OD,OA,BC的中点。

.若△PQS面积与△AOD的面积的比是4：5，求梯形上下两底的比CD:AB
图请见这个网址http://zhidao.baidu.com/question/100631344.html

Answer 1

见图，ABCD是等腰梯形，∠ACD=60°，所以有△DCO和△ABO都是等边三角形；

△AOD中，S、P分别是OD和OA的中点，可知SP=AD/2，SP//AD。

过点O、C、Q、B作AD的平行线(也与SP平行)，如图，构成了6条平行线组成的平行线束：

记AD与SP的距离为H1，

记SP与过点O的平行线的距离为H2，

记过点O、C的平行线的距离为H3，

记过点C、Q的平行线的距离为H4，

记过点Q、B的平行线的距离为H5；

由于S、P分别是OD和OA的中点，所以H1=H2；

由于Q是BC的中点，所以H4=H5。

而：

△AOD的面积S1=AD×(H1+H2)/2=AD×H1

△PQS的面积S2=SP×(H2+H3+H4)/2=AD×(H1+H3+H4)/4

根据条件：S2:S1=4:5，即：(H1+H3+H4):H1=16:5，即：H3+H4=H1×11/5

而：

CD:AB=(H1+H2+H3):(H1+H2+H3+H4+H5)=(2×H1+H3):(2×H1+H3+2×H4)

同时：

CD:AB=OD:OB=(H1+H2):(H3+H4+H5)=(2×H1):(H3+2×H4)

即有：

设m=CD:AB=(2×H1+H3):(2×H1+H3+2×H4)=(2×H1):(H3+2×H4)

=[(2×H1+H3)-(2×H1)]:[(2×H1+H3+2×H4)-(H3+2×H4)]

=(H3):(2×H1)

有H3=2×m×H1，H4=H1×(1-m^2)/m

所以：2×m×H1+H1×(1-m^2)/m=H1×11/5

即：m+1/m=11/5

解得CD:AB=m=(11±√21)/10

两个答案均可，一个是CD<AB的情形(图中的情形)，一个是CD>AB的情形。