已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线L与抛物线C相交于A,B两点,若AB中点为(2,2)
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因为焦点F(1,0),则抛物线C的表达式为y²=4x 。
①当斜率存在时,设A(X1,y1),B(X2,y2) ,直线l的表达式为y=ax+b,
由中点公式得2=(X1+X2)/2,2=(y1+y2)/2 ,
则x1+x2=4,y1+y2=4
把A,B及AB中点(2,2)代入直线l的表达式得y1=2x1+b,y2=2X2+b
两方程联立得b=-2代入y=ax+b得y=ax-2
又∵直线l过(2,2)则a=2
∴直线l的表达式为y=2x-2
②当斜率不存在时,不符,舍 应该是求直线的表达式吧(我已很久没学数学了,也不知道对不对,海涵)——
①当斜率存在时,设A(X1,y1),B(X2,y2) ,直线l的表达式为y=ax+b,
由中点公式得2=(X1+X2)/2,2=(y1+y2)/2 ,
则x1+x2=4,y1+y2=4
把A,B及AB中点(2,2)代入直线l的表达式得y1=2x1+b,y2=2X2+b
两方程联立得b=-2代入y=ax+b得y=ax-2
又∵直线l过(2,2)则a=2
∴直线l的表达式为y=2x-2
②当斜率不存在时,不符,舍 应该是求直线的表达式吧(我已很久没学数学了,也不知道对不对,海涵)——
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C:y^2=4x
若L垂直于x轴,中点应在x轴上,不成立
若L不垂直于x轴,设直线方程y-2=k(x-2)
(点差法)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
y1^2=4x1
y2^2=4x2
两式相减,得:(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2)
所以k=(y1-y2)/(x1-x2)=4/(y1+y2)
因为中点(2,2),所以y1+y2=4
所以k=1
所以L:y-2=1*(x-2),即:y=x
若L垂直于x轴,中点应在x轴上,不成立
若L不垂直于x轴,设直线方程y-2=k(x-2)
(点差法)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
y1^2=4x1
y2^2=4x2
两式相减,得:(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2)
所以k=(y1-y2)/(x1-x2)=4/(y1+y2)
因为中点(2,2),所以y1+y2=4
所以k=1
所以L:y-2=1*(x-2),即:y=x
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抛物线方程:y^2=4x
若直线L竖直,显然不可能
若直线L不竖直,则设L:y=kx+b
代入,k^2x^2+(2kb-4)x+b^2=0
中点横坐标(x1+x2)/2=2
所以(2-kb)k^2=2
中点纵坐标=2
所以(2-kb)k^2*k+b=2/k=2
所以k=1,b=0
所以直线L:y=x
若直线L竖直,显然不可能
若直线L不竖直,则设L:y=kx+b
代入,k^2x^2+(2kb-4)x+b^2=0
中点横坐标(x1+x2)/2=2
所以(2-kb)k^2=2
中点纵坐标=2
所以(2-kb)k^2*k+b=2/k=2
所以k=1,b=0
所以直线L:y=x
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