Question

大家帮忙解一道初中数学题 ~~~

设BC是△ABC中最短的边，P是AB上的点，使∠PCB=∠BAC，Q是AC上的点，使得∠QBC=∠BAC。求证：△ABC和△APQ的外接圆的连心线垂直平分线段BC
原题无图，大家帮帮忙，在这里我先谢谢了~~~~
二楼 “威加海内平四方”，题目没那么简单，AB≠AC
解法错在AX不是△ABC的切线，不然要条件“∠PCB=∠BAC”“∠QBC=∠BAC”干什么.
原题没问题，这题出自一我借的卷子，借我的人竟然不做笔记
百度半天也没出来- -

难不成要赏千百财富值。。。~~~~(>_<)~~~~ 钱难挣啊，在这里我磕头下跪了orz

Answer 1

呵呵，关键还是仔细画图，利用其对成性。

1、过P点做BC的平行线，跟BQ延长线相交于P'点。

2、过CP,BQ的相交点S，做BC的垂直相交线，交BC线于T点，交PP’线于R点。

基于∠PCB==∠QBC，有△BST与△CST是完全对称的，

即ST是BC的垂直中分线。

既然PP'//BC，ST也必然垂直中分PP'线于R点。

即△PRS 与△P'RS也是完全对称的。

其中，有∠PP'Q=∠QBC; 

基于∠QBC=∠BAC，得到∠PP'Q=∠BAC；

即有 ∠PP'Q=∠PAQ；

基于等弦等角定理，则P'点也必然在△APQ的外接圆上。

即PP'线为此外接圆的一根弦。

而线RT又是线PP'的垂直中分线，则△APQ的外接圆的圆心必然在其弦PP'线的垂直中分线上，即RT线上。

由前面分析同样可知，△ABC的外接圆的圆心也必然在其弦BC线的垂直中分线上，即RT线上。

故，RT线也为两个外接圆的连心线。

则有两外接圆的连心线垂直中分线BC。

Answer 2

你自己画个图，这题很简单，我说一下大体思路。
首先，△ABC外接圆的圆心肯定在BC垂直平分线上。
欲证△ABC和△APQ的外接圆的连心线垂直平分线段BC，只需证△APQ的外接圆圆心在BC垂直平分线上即可。
其次，△APQ的外接圆圆心在PQ垂直平分线上，如果它也在BC垂直平分线上，那么必有BC平行PQ。
BC是不是平行PQ呢，这就是题眼所在。
其实△ABC和△APQ是相似的，角APQ对应的弧是AQ，过A作△APQ外接圆的切线AX，根据弦切角等于所夹弧对应的圆周角，易得角QAX=APQ,在三角形ABC外接圆中，QAX对应的弧是AC，故QAX=ABC，即ABC=APQ同理证得AQP=ACB。
于是PQ的中垂线与BC中垂线重合，命题得证

有什么看不懂的再问
我又没说AB=AC，AX是切线，是作的辅助线