Question

初三反比例函数

如图,P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,¨¨Pn（xn,yn）在函数y=4/x （x>0)的图像上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3.¨¨△PnA（n－1）An都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，¨¨A（n－1）An都在x轴上，（1）求P1的坐标？（2）求y1＋y2＋y3＋¨¨y（n－1）＋yn的值
请详写解题过程，谢谢。

Answer 1

解：（1）
设P1的坐标为（X，4/X）
过P1作P1A⊥OA1
∵△P1OA1是等腰直角三角形
∴P1A=OA
即P1的横纵坐标相等
∴X=X/4
即X=2（其中X=-2不合题意，舍去）
4/X=4/X=4/2=2
P1的坐标是（2，2）

（2）
设P2的纵坐标为Y2
A1横坐标为2X=2*2=4
那么P2的横坐标为A1横坐标+Y2，即4+Y2
∵y=4/x
∴Y2=4/(4+Y2)
求得Y2=2（√2-1）（√表示平方根）[舍去X为负值的解]
设P3的纵坐标为Y3
那么P2的横坐标为4+2Y2+y3=4+2*2（√2-1）+Y3=4√2+Y3
根据y=4/x，得 4√2+Y3=4/(4√2+Y3)
求得Y3=2（√3-√2）（√表示平方根）[舍去X为负值的解]
同理求得Y4=2（√4-√3）（√表示平方根）[舍去X为负值的解]
Y5=2（√5-√4）（√表示平方根）[舍去X为负值的解]
........
Yn=2（√n-√(n-1)）（√表示平方根）[舍去X为负值的解]
又Y1=X=2
∴y1＋y2＋y3＋...+y（n－1）＋yn=2+2（√2-1）+2（√3-√2）+2（√n-√(n-1)）
=2+2(√n-1)
=2√n