Question

已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)

(1)求证f(x)+f(-x)=0
(2)若f(-3)=a，试用a表示f(12)
(3)如果x>0时，f(x)<0,且f(1)=-1/2，试求f(x)在区间[-2,4]上的最大值和最小值

Answer 1

(1)令x=y=0
f(0+0)=f(0)+f(0) 得 f(0)=0
再令y=-x
f(0)=f(x)+f(-x) 即 0=f(x)+f(-x) 即 f(x) 为奇函数
（2）由（1）得 f(-3)+f(3)=0 得 f(3)=-a
f(12)=f(3)+f(9)=f(3)+f(3)+f(6)=4f(3)=-4a
(3)由（1）知f(x)为奇函数，又x>0时f(x)<0 所以 x<0时f(x)>0
从而 f(x)在定义域上是减函数 所以最大值为f(-2)=-f(2)=-[f(1)+f(1)]=1
最小值f(4)=f(2)+f(2)=-2

Answer 2

1,令y=-x
f(0)=f(x)+f(-x)

2,f(x)+f(-x)=0
f(x)=-f(-x)
f(3)=-a
f(6)=f(3)+f(3)=-2a
f(12)=2f(6)=-4a

3,f(x)=-f(-x)
函数为奇函数
f(2)=2f(1)=-1
单调递减
MAX=f(-2)=-f(2)=1
MIN=f(4)=2f(2)=-2

Answer 3

（1）当x=y=0时，则有f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，另外当y=-x时则有f（x-x）=f（x）+f（-x）即f(x)+f(-x)=0；
（2）若f(-3)=a，有因为f(3)+f(-3)=0则f(3)=-a，又f(12)=2f(6)=4f(3)=-4a；
（3）当x>0时，f(x)<0，则x<0时，f(x)>0，所以当x属于【-2,0】时，f(x)递减，f(0)<=f(x)<=f(-2)，当x属于【0,4】时，f(x)递减，f(4)<=f(x)<=f(0)，所以最大值是f(-2)，最小值是f(4)，f(-2)=2f(-1)=-2f(1)=1，f(4)=2f(2)=4f(1)=-2.

Answer 4

f(0+0)=f(0)+f(0)=f(0) 所以f(0)=0 f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0

所以f(3)=-a f(6)=f(3)+f(3)=-2a f(12)=f(6)+f(6)=-4a

设-x>0 所以 f(-x)<0 因为f(x)+f(-x)=0已证 所以x<0时 f(x)>0
然后证明大于零和小于零时的单调性 时间关系 你自己想把 应该行的额 加油！！