Question

已知：AB是的直径，C是上一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB于D

已知：AB是的直径，C是上一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB于D

（AD＜DB），点E是上任意一点（点D、B除外），直线CE交⊙O于点F，连结AF与直线CD交于点G。（1）求证：AC2=AG·AF；（2）若点E是AD上任意一点（点A除外），上述结论是否仍成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由。

Answer 1

解：如图

Answer 2

证明：

如图1，连接BC、BF

因为AB是直径

所以∠ACB＝∠AFB＝90°

因为CD⊥AB

所以∠ADC＝∠ADG＝90°

所以∠ACB＝∠ADC，∠AFB＝∠ADG

又因为∠CAD＝∠BAC，∠DAG＝∠FBA

所以△ACD∽△ABC，△ADG∽△AFB

所以AC/AB＝AD/AC，AD/AF＝AG/AB

所以AC^2＝AD*AB，AD*AB＝AG*AF

所以AC^2＝AG*AF

若点E是线段AD上的任意一点，上述结论仍然成立

证明（与上面过程一样）：

如图2，连接BC、BF

因为AB是直径

所以∠ACB＝∠AFB＝90°

因为CD⊥AB

所以∠ADC＝∠ADG＝90°

所以∠ACB＝∠ADC，∠AFB＝∠ADG

又因为∠CAD＝∠BAC，∠DAG＝∠FBA

所以△ACD∽△ABC，△ADG∽△AFB

所以AC/AB＝AD/AC，AD/AF＝AG/AB

所以AC^2＝AD*AB，AD*AB＝AG*AF

所以AC^2＝AG*AF

Answer 3

蝴蝶定理