Question

已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D

已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D．
　　(1)当点E为DB上任意一点(点D、B除外)时，连接CE并延长交⊙O于点F，AF与CD的延长线交于点G(如图①)．求证：AC2＝AG*AF．
　　(2)李明证明(1)的结论后，又作了以下探究：当点E为AD上任意一点(点A、D除外)时，连接CE并延长交⊙O于点F，连接AF并延长与CD的延长线在圆外交于点G，CG与⊙O相交于点H(如图②)．连接FH后，他惊奇的发现∠GFH＝∠AFC．
请问如何证明∠GFH＝∠AFC

Answer 1

(1)
连接BC，则∠ACB=90°，∠ABC=∠F，
∵∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠ACD=∠ABC．
∴∠ACD=∠F．
又∵∠CAG=∠FAC，
∴△ACG∽△AFC．
∴AG/AC =AC/AF ．
∴AC2=AG•AF．
(2)
先证∠AFC=∠ACH;(∠AFC+∠CAB=90;∠ACE+∠CAB=90得证)
再证∠HFG=∠ACH(∠FHG+∠FHC=180;∠CAF+∠FHC=180 所以∠FHG=∠CAF得证)
所以∠HFG=∠AFC

Answer 2

（1）证明：延长CG交⊙O于H，
∵CD⊥AB，
∴AB平分CH，弧CA=弧AH，
∴∠ACH=∠AFC，
又∠CAG=∠FAC，
∴△AGC∽△ACF，
∴AGAC=ACAF，
即AC2=AG•AF．

（2）证明：∵CH⊥AB，
∴弧AC=弧AH，
∴∠AFC=∠ACG
又∠AFC=∠GFH，
∴∠ACG=∠GFH，
又∠G=∠G，
∴△GFH∽△GCA，
∴GFGC=GHGA，
∴GF•GA=GC•CH．

（3）答：CD2=AD•DB，AC2=AD•AB；EF•EC=EA•EB，AF•GA=AD•AB．

Answer 3

证：（1）AG/AB=AD/AF;
AC/AB=AD/AC;得证。
（2） 先证∠AFC=∠ACH;(∠AFC+∠CAB=90;∠ACE+∠CAB=90得证)
再证∠HFG=∠ACH(∠FHG+∠FHC=180;∠CAF+∠FHC=180 所以∠FHG=∠CAF得证)
所以∠HFG=∠AFC

Answer 4

连接BF
很容易得到Rt△AGD与Rt△ABF相似
AG/AB=AD/AF
AG*AF=AD*AB
Rt△ABC中CD垂直AB，根据影射定理
AC^2=AD*AB
故AG*AF=AC^2=(2√2)^2=8