Question

如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB

如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE
求：CD²+3CH²是定值

Answer 1

（1）依题意得 四边形ECDO为矩形 

所以CD平行且等于OE，所以角CEO=角CDE 

又因为OG=EH 

所以三角形OEH全等于三角形CDG（SAS）所以OH=CG 

同理 三角形CEH全等于三角形ODG，所以HC=OG 

所以四边形OGCH为平行四边形 

（2）DG的长度不变。 

连接CO 

因为四边形CDOE为矩形，所以CO=ED=半径 

所以GD=1/3OA=1 

（3）12 

过G作GM垂直于AO交于M 

原式=ED2-CE2+3（OM2+MG2） 

=ED2-CE2+3（OM2+GD2-MD2） 

=9-CE2+3（OM2+1-MD2） 

=9-CE2+3+3（MO+MD）（MO-MD） 

=9-CE2+3+3OD（MO-MD） 

=12+CE（3MO-3MD-3MO-3MD） 

12+CE（2MO-4MD） 

因为三角形MGO相似于三角形DEO 

所以OM=2MD 

所以2MO-4MD=0 

所以原式=12

Answer 2

解：

作HF⊥CD于点F

则△DHF∽△DEC

∴DF/DC=DH/DE=2/3

∴DF=2/3CD

∴CF=1/3CD

∵HF²=HC²-CF²=DH²-DF ²，DH=2

∴CH²-(1/3CD)²=2²-(2/3CD)²

∴3CH²=12-CD²

∴CD ²+3CH²=12

Answer 3

∵CD⊥OA，CE⊥OB
∴CDOE为矩形
连接OC，与AE交于F
C是弧AB上异于A、B的动点，令∠COD=θ，则θ∈（0，90°）
CD=OCsinθ=3sinθ
OD=OCcosθ=3cosθ

DE=根号(CD^2+DE^2)=根号[(3sinθ)^2+(3cosθ)^2]=根号[9(sinθ)^2+(cosθ)^2]=3
FD=FE=FO=FC=1/2DE=3/2

∵DG=GH=HE
∴HE=1/3DE=1
∴FH=FE-HE=3/2-1=1/2
∠CFH=180-∠FCE-∠FEC=180-2θ

CH^2=FC^2+FH^2-2*FC*FH*cos∠CFH
=(3/2)^2+(1/2)^2-2*(3/2)*(1/2)*cos(180°-2θ）
=5/2+3/2cos2θ

CD^2+3CH^2=(3sinθ)^2+3*(5/2+3/2cos2θ)
=9(sinθ)^2+15/2+9/2cos2θ
=9(sinθ)^2+15/2+9/2[1-2(sinθ)^2]
=9(sinθ)^2+15/2+9/2-9(sinθ)^2
=12，得证

Answer 4

（1）证明：连接OC交DE于M．
由矩形得OM=CM，EM=DM．
∵DG=HE．
∴EM-EH=DM-DG．
∴HM=DG．
∴四边形OGCH是平行四边形．
（2）解：DG不变．
在矩形ODCE中，∵DE=OC=3．
∴DG=1．
（3）证明：设CD=x，则CE= 9-x2 ．过C作CN⊥DE于N．
由DE•CN=CD•EC得CN=x 9-x2 3 ．
∴DN= x2-(x 9-x2 3 )2 =x2 3 ．
∴HN=3-1-x2 3 =6-x2 3 ．
∴3CH2=3[（6-x2 3 ）2+（x 9-x2 3 ）2]=12-x2．
∴CD2+3CH2=x2+12-x2=12．

Answer 5

没看到图，给填补一个可以不