Question

高中数学，关于椭圆

椭圆X^2/45 +Y^2/20=1的左右焦点分别为f1和f2，过中心o作直线与椭圆交与A,B两点，若三角形ABF2的面积为20，求直线AB的方程。

Answer 1

椭圆x^2/45+y^2/20=1 ==>a^2=45 b^2=20 ==>c^2=25 ==>c=5 ==>F1(-5,0) F2(5,0)
显然|yA|=|yB|,而三角形面积＝1/2*(|yA|+|yB|)*|OF2|=5/2*2|2yA|=20,所以
|yA|=4 再代入椭圆方程得|xA|=3,
所以AB的直线方程为：y=±4/3x
方法二：
设A点在x轴上方.
注意到OF2把三角形ABF2分成了面积相等的两个三角形.即三角形AF2O的面积为10.其底为c=5.
故其高为:4.即A(x,4).
代入方程得:x=3 或-3
故得AB的方程为:y=(4/3)x 或y=-(4/3)x
方法三：
可设直线AB的方程为x=ky，代入椭圆方程得
k²y²/45+y²/20=1
(4k²+9)y²=180
y²=180/(4k²+9)
y1=-6√(5/(4k²+9))
y2=6√(5/(4k²+9))
c²=45-20=25
c=5，即OF2=5
S△ABF2=S△AOF2+S△BOF2
=1/2*5*(y2-y1)
=5*6√(5/(4k²+9))=20
解得k=3/4或k=-3/4
所以方程为x=3/4y或x=-3/4y
即y=4x/3或y=-4x/3