Question

已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x

1.若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
2.设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析式

Answer 1

(1)将x=2及f(2)=3代入已知条件有：f[f(2)-4+2]=3-4+2即f(1)=1。
令x=0，则f[f(0)-0+0]=f(0)-0+0=f(0)=a，即f[f(0)]=f（a）=a
(2)对任意实数x，由题意均有f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x成立。而f(x)-x^2+x恒等于f(x)-x^2+x，所以
f(x)-x^2+x=x0，即f(x)=x^2-x+x0
令f(x)=x解得x1=0，x2=1
所以f(x)的解析式为f(x)=x^2-x 或者f(x)=x^2-x+1

Answer 2

1. x=2时，f(x)-x^2+x=f(2)-2=3-2=1，所以f[f(2)-2^2+2]=f(1)=f(2)-2^2+2=1，即f(1)=1
若x=0，f(x)-x^2+x=f(0)=a，所以f[f(0)]=f(a)=f(0)=a

2.因为f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x，可见对于任意f(x)-x^2+x=x0，都满足f(x0)=x0，
若这样的x0只有一个，这就要求无论x取什么值，f(x)-x^2+x的值都不变，且都等于x0。
或者这样说，f(x)-x^2+x=x0恒成立。显然只有当f(x)=x^2-x+x0时，才能满足条件。
再将f(x)=x^2-x+x0代入f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x可得f(x0)=x0，即x0^2-x0+x0=x0
解得x0=0或x0=1，所以最后得f(x)=x^2-x 或 f(x)=x^2-x+1

Answer 3

1. x=2时，f(x)-x^2+x=f(2)-2=3-2=1，所以f[f(2)-2^2+2]=f(1)=f(2)-2^2+2=1，即f(1)=1
若x=0，f(x)-x^2+x=f(0)=a，所以f[f(0)]=f(a)=f(0)=a

2.因为f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x，可见对于任意f(x)-x^2+x=x0，都满足f(x0)=x0，
若这样的x0只有一个，这就要求无论x取什么值，f(x)-x^2+x的值都不变，且都等于x0。
或者这样说，f(x)-x^2+x=x0恒成立。显然只有当f(x)=x^2-x+x0时，才能满足条件。
再将f(x)=x^2-x+x0代入f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x可得f(x0)=x0，即x0^2-x0+x0=x0
解得x0=0或x0=1，所以最后得f(x)=x^2-x 或 f(x)=x^2-x+1